合同到期终止该不该提前通知？

我是一家外贸进出口公司的负责人。因为公司业务量这两年逐步减少，所以决定与部分劳动合同到期的员工终止劳动合同。但是在实际操作中，我们碰到了一些问题。有的员工，在我们提前通知他不再续签劳动合同后就开始请病假不来上班；有的虽然到岗但却不积极完成工作任务；有的甚至和公司领导胡搅蛮缠，严重影响了公司经营。这次，又有一名员工合同到期了，为避免出现上面的问题，我们在合同到期时才通知他不再续签合同。结果，他提出公司未提前一个月通知他解除合同属于违法，应另外支付其一个月工资。另外，其还有10天调休单和5天年休假未休，也要求折算成工资，并提出了一大笔赔偿款。法定的经济补偿金以及调休、年休假折算工资我们是同意支付的，但其他请求我们认为都是无理要求，未予同意。现该员工仍与我们吵闹不休。我们想请问，合同到期终止也要提前通知吗？该员工要求我们支付一个月工资替代提前通知期有没有法律依据呢？